Chapter 1 测度理论
教材：Folland Real Analysis 第一章
1.0 测度的引入
Notation 1.1 为何要引入测度
度量分析和几何中集合的“大小”。
Definition 1.2 \(\mathbb{R}^n\) 中的 Jordan 测度
设 \(X = \mathbb{R}^n\)，定义映射 \(\mu: 2^X\rightarrow [0,\infty]\) 满足
\(\mu([0,1]^n) = 1\)
若 \(\{E_k\}_{i=1}^{\infty}\subset 2^X\) 两两不交，则 \(\mu(\cup_k E_k) = \sum_k \mu(E_k)\)
\(\mu(E) = \mu(E+x)\)
Example 1.3 Jordan 测度是不良定义的：存在不可测集
在 \([0,1]\) 中定义等价关系：\(x\sim y \text{ iff } x-y\in \mathbb{Q}\)，在每个等价类中取一个元素得到 \(A\)。
则显然有 \([0,1]\subset X=\cup_{q\in \mathbb{Q}} (A+q)\subset [-1,2]\)。
但根据定义的第三条，\(\mu(X)\) 或者为 \(0\)，或者为 \(\infty\)，矛盾！
因此，测度不能定义于幂集上。
1.1 \(\sigma-\) 代数
Definition 1.4 （代数 algebra）称 \(\emptyset\neq \mathcal{A}\subset 2^X\) 为代数如果
\(E_1, E_2\in \mathcal{A}\)，则 \(E_1\cup E_2\in \mathcal{A}\)；
\(E\in \mathcal{A}\)，则 \(E^c\in \mathcal{A}\)；
Definition 1.5（\(\sigma-\)代数） 称 \(\mathcal{A}\) 为 \(\sigma-\) 代数如果 \(\mathcal{A}\) 为代数且
若 \(\{E_k\}_{k=1}^\infty \subset \mathcal{A}\)，则 \(\sum_1^{\infty} E_k\in \mathcal{A}\)。
Remark 1.6 代数（\(\sigma-\) 代数）对集合的交、（有限/可数）并、差、补运算是封闭的。
Remark 1.7 \(X,\emptyset\in \mathcal{A}\)。
Example 1.8 对任意集合 \(X\)，\(2^X, \{\emptyset,X\}\)（即拓扑中的离散拓扑和平凡拓扑）都是 \(\sigma-\) 代数。
Example 1.9 \(\mathcal{A} = \{E\subset X: \#E = \#\mathbb{N} \text{ or } \#E^c = \#\mathbb{N}\}\) 是 \(\sigma-\) 代数。
Lemma 1.10 一族 \(\sigma-\) 代数的交是 \(\sigma-\) 代数。
Definition 1.11（生成）设 \(\mathcal{E}\subset 2^X\)，记 \(\mathcal{M(E)}\) 为全体包含 \(\mathcal{E}\) 的 \(\sigma-\) 代数的交，称为 \(\mathcal{E}\) 生成的 \(\sigma-\) 代数（最小的包含 \(\mathcal{E}\) 的 \(\sigma-\) 代数）。
Lemma 1.12 若 \(\mathcal{E}\subset \mathcal{M(F)}\)，则 \(\mathcal{M(E)}\subset \mathcal{M(F)}\)。
Definition 1.13（Borel \(\sigma-\)代数）对任意拓扑空间 \((X,\tau)\)，则 \(\mathcal{B}_X := \mathcal{M}(\tau)\) 定义为由 \(X\) 中所有开集生成的 \(\sigma-\) 代数，称为 Borel \(\sigma-\)代数。\(\mathcal{B}\) 中的元素称为 Borel 集。
Definition 1.14（\(G_\delta\) 集）称开集的可数交为 \(G_\delta\) 集。
Definition 1.15（\(F_\sigma\) 集）称闭集的可数并为 \(F_\sigma\) 集。
Remark 1.16 \(G_\delta\) 集和 \(F_\sigma\) 集均为 Borel 集。
Example 1.17（\(\mathbb{R}\) 上的 Borel 代数）\(\mathcal{B}_{\mathbb{R}}\) 可以由
\(\mathcal{E}_1 = \{(a,b): a \(\mathcal{E}_2 = \{[a,b]: a \(\mathcal{E}_3 = \{(a,b]: a \(\mathcal{E}_4 = \{[a,b): a \(\mathcal{E}_5 = \{(a,+\infty)\}\) \(\mathcal{E}_6 = \{(-\infty,b)\}\) \(\mathcal{E}_7 = \{[a,+\infty)\}\) \(\mathcal{E}_8 = \{(-\infty,b]\}\) 生成。 Proof：只需证明 \(\forall j\geq 2, \mathcal{E}\subset \mathcal{M}(\mathcal{E}_j)\) 生成即可。 Definition 1.18（乘积 \(\sigma-\)代数） 设 \(\{X_\alpha\}_{\alpha\in A}\) 是一族（“族”可以有限、可数甚至不可数），定义 \(X = \prod_{\alpha\in A}X_\alpha\) 为乘积空间，\(\pi_\alpha\in X\rightarrow X_\alpha\) 为投影，\(\mathcal{M}_\alpha\) 是 \(X_\alpha\) 上的 \(\sigma-\)代数。定义乘积 \(\sigma-\) 代数为 \[\otimes_{\alpha\in A} \mathcal{M}_\alpha = \mathcal{M}(\{\pi_{\alpha}^{-1}(E_\alpha): E_\alpha\in\mathcal{M}_\alpha, \alpha\in A\}) \] Proposition 1.19 当 \(A\) 是可数集时，乘积 \(\sigma-\) 代数为（更直观的定义） \[\otimes_{\alpha\in A}\mathcal{M}_\alpha = \mathcal{M}\left(\left\{\prod_{k=1}^\infty E_k: E_k\in \mathcal{M}_k\right\}\right) \] Proof：\(\pi_k^{-1}(E_k) = (X_1,X_2,\dots,E_k,X_{k+1},\dots)\)，因此 \(\prod_{k=1}^\infty E_k = \cap_{k=1}^\infty \pi_k^{-1}(E_k)\)。再由 Lemma 1.12 可得。 Proposition 1.20 若 \(\alpha\in A, \mathcal{M}_\alpha = \mathcal{M}(\mathcal{E}_\alpha)\)，定义 \(\mathcal{F}_1 = \{\pi_\alpha^{-1}(E_\alpha): E_\alpha\in \mathcal{E}_\alpha, \alpha\in A\}\)，则 \(\otimes_{\alpha\in A} \mathcal{M}_\alpha = \mathcal{M}(\mathcal{F_1})\)。特别地，若 \(A = \mathbb{N}\)（即 \(A\) 可数），\(X_k\in \mathcal{E}_k\)，则 \(\otimes_{k=1}^\infty \mathcal{M}_k = \mathcal{M}(\{\prod_{k=1}^\infty E_k: E_k\in \mathcal{E}_k\})\)。 Proof：\(\mathcal{M}(\mathcal{F}_1)\subset \mathcal{M}_\alpha\) 显然。 对每个 \(\alpha\in A\)，则 \(\{E\subset X_\alpha: \pi_{\alpha}^{-1}(E)\in \mathcal{M}(\mathcal{F_1})\}\) 是 \(\sigma-\) 代数（利用映射原像的性质）且包含 \(\mathcal{E}_\alpha\)，故也包含 \(\mathcal{M}_\alpha\)。 因此 \(\pi_\alpha^{-1}(E)\in \mathcal{M}(\mathcal{F}_1), \forall E\in \mathcal{M}_\alpha\)。故 \(\mathcal{M}_\alpha\subset \mathcal{M}({\mathcal{F_1}})\)。 Proposition 1.21 设 \(X_1,\dots, X_n\) 是一列度量空间，\(X=\prod_{j=1}^n X_j\)，度量为乘积度量，则 \(\otimes_{j=1}^n \mathcal{B}_{X_j}\subset \mathcal{B}_X\)。特别地，若 \(X_j\) 可分，则 \(\otimes_{j=1}^n \mathcal{B}_{X_j} = \mathcal{B}_X\)。 Proof： \(\otimes_{j=1}^n \mathcal{B}_{X_j}\) 是由 \(\pi_j^{-1}(U_j)\) 生成的 Borel 代数，其中 \(U_j\) 为 \(X_j\) 中开集。 这些集合都是 \(X\) 中开集。因此 \(\otimes_{j=1}^n \mathcal{B}_{X_j}\subset \mathcal{B}_X\)。 当 \(X_j\) 可分时，设 \(C_j\subset X_j, \overline{C_j} = X_j, \#C_j = \#\mathbb{N}\)。 设 \(\mathcal{E}_j = \{B(x,r): r\in \mathbb{Q}, x\in C_j\}\)，则 \(X_j\) 中的开集均为 \(\mathcal{E}_j\) 中开球的可数并。 因此 \(\prod_{j=1}^n C_j\) 是 \(X\) 的可数稠密子集，\(X\) 中开球也可以由 \(\mathcal{E}_j\) 中开球生成。故 \(\mathcal{B_X}\subset \otimes_{j=1}^n \mathcal{B}_{X_j}\)。 Corollary 1.22 \(\mathcal{B}_{\mathbb{R}^n} = \otimes_{i=1}^n \mathcal{B}_{\mathbb{R}}\)。 Definition 1.23（基本族，elementary family）称 \(\mathcal{E}\subset 2^X\) 是一个基本族如果 \(\emptyset\in \mathcal{E}\) 若 \(E,F\in \mathcal{E}\)，则 \(E\cap F\in \mathcal{E}\) 若 \(E\in \mathcal{E}\)，则 \(E^c\) 是 \(\mathcal{E}\) 中有限多元素的不交并。 Example 1.24 \(\mathbb{R}^n\) 中的半开区间（半开方体）是基本族。 Proposition 1.25 若 \(\mathcal{E}\) 是基本族，\(\mathcal{A}\) 为 \(\mathcal{E}\) 中集合的不交并构成的集族，则 \(\mathcal{A}\) 是代数。 Proof：设 \(A,B\in \mathcal{E}\)，则 \(B^c = \cup_{i=1}^J C_j, C_j\in \mathcal{E}\)。则 \[A\backslash B = A\cap B^c = A\cap (\cup_{j=1}^J C_j) = \cup_{j=1}^J (A\cap C_j) \] 因此 \(A\backslash B\in\mathcal{A}\)，故 \(A\cup B = (A\backslash B)\cup B\in \mathcal{A}\)。即 \(\mathcal{A}\) 对有限并封闭。若 \[A_1,\dots,A_n\in \mathcal{E}, A_m^c = \cup_{j=1}^{J_m} B_m^j \] 则 \((\cup_{m=1}^n A_m)^c = \cap_{m=1}^n (\cup_{j=1}^{J_m} B_m^j)=\cup(B_1^{j_1}\cap\dots\cap B_n^{j_n})\in \mathcal{A}, 1\leq j_m\leq J_m, 1\leq m\leq n\)。即 \(\mathcal{A}\) 对补封闭。 1.2 测度 Definition 1.26（测度） 设 \((X,\mathcal{M})\) 是 \(\sigma-\) 代数，称 \((X,\mathcal{M})\) 上的函数 \(\mu: \mathcal{M}\rightarrow [0,\infty]\) 为测度，如果 \(\mu(\emptyset) = 0\) 若 \(\{E_j\}_{j=1}^\infty\subset \mathcal{M}\)，则 \(\mu(\cup_{j=1}^\infty E_j) = \sum_{j=1}^\infty \mu(E_j)\) Definition 1.27（测度空间） 称 \((X,\mathcal{M})\) 为可测空间如果存在测度 \(\mu\) 可定义在 \((X,\mathcal{M})\) 上。\((X,\mathcal{M}, \mu)\) 称为测度空间。 Definition 1.28 设 \((X,\mathcal{M},\mu)\) 为测度空间。称 \(\mu\) 为 有限测度，如果 \(\mu(X)<\infty\) \(\sigma-\)有限测度，如果 \(X = \cup_{j=1}^\infty E_j, E_j\in \mathcal{M}, \mu(E_j)<\infty\) 半有限，如果 \(\forall E\in \mathcal{M}, \mu(E)=\infty, \exists F\subset E, \text{ s.t. } 0<\mu(E)<\infty\) Example 1.29 考虑 \((X,2^X)\)，\(f: X\rightarrow [0,\infty]\)，对 \(E\in 2^X\)，定义 \(\mu(E) := \sum_{x\in E} f(x) := \sup_{F\subset E,\#F<\infty}\sum_{x\in F}f(x)\)，则 \(\mu\) 为测度。 当 \(f(x)=1\) 时，\(\mu\) 为计数测度。 当 \(f(x) = [x=x_0]\)，则 \(\mu\) 为 \(\delta_{x_0}\) 测度。 Example 1.30 设 \(X\) 不可数，\(\mathcal{M}\) 为 Example 1.9 中的 \(\sigma-\) 代数，定义 \[\mu(E) = \left\{ \begin{aligned} & 0, & E可数, \\ & 1, & E不可数, \\ \end{aligned} \right. \] 则 \(\mu\) 为测度。 Example 1.31 定义在事件空间 \(\Omega\) 上且满足 \(P(\Omega) = 1\) 的概率 \(P\) 是测度，称为概率测度。 Theorem 1.32 给定测度空间 \((X,\mathcal{M},\mu)\)，则 \(E,F\in \mathcal{M}\)，\(E\subset F\)，则 \(\mu(E)\leq \mu(F)\)。 若 \(\{E_j\}_{j=1}^\infty\subset \mathcal{M}\)，则 \(\mu(\cup_{j=1}^\infty E_j)\leq \sum_{j=1}^\infty \mu(E_j)\)。 若 \(\{E_j\}\subset \mathcal{M}, E_1\subset E_2\subset\dots\)，则 \(\mu(\cup_{j=1}^\infty E_j) = \lim_{j\rightarrow \infty}\mu(E_j)\)。 若 \(\{E_j\}\subset \mathcal{M}\) 且 \(\mu(E_j) < \infty\)，\(E_1\supset E_2\supset \dots\supset \dots\)，则 \(\mu(\cap_{j=1}^\infty E_j) = \lim_{j\rightarrow \infty} \mu(E_j)\)。 Proof： \(\mu(F) = \mu(E) + \mu(F\backslash E) \geq \mu(E)\)。 设 \(F_1 = E_1, F_k = E_k\backslash (\cup_{j=1}^{k-1}E_j)\)，则 \(F_k\) 两两不交。\(\mu(\cup_{j=1}^\infty E_j)=\mu(\cup_{j=1}^\infty F_j) = \sum_{j=1}^\infty \mu(F_j) \leq \sum_{j=1}^\infty \mu(E_j)\)。 \(\mu(\cup_{j=1}^\infty E_j)=\sum_{j=1}^\infty\mu(E_j\backslash E_{j-1}) = \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{j=1}^n \mu(E_j) - \mu(E_{j-1}) = \lim_{n\rightarrow \infty}\mu(E_n)\)。 设 \(F_j = E_1\backslash E_j\)，则 \(F_1\subset F_2\subset \dots\)。由 3 可知 \[\mu(E_1)-\mu(\cap_{j=1}^\infty E_j) = \mu(\cup_{j=1}^\infty F_j) = \lim_{n\rightarrow \infty} \mu(F_j)= \mu(E_1) - \lim_{n\rightarrow \infty}\mu(E_n) \] 故 \(\mu(\cap_{j=1}^\infty E_j) = \lim_{j\rightarrow \infty}\mu(E_j)\)。 Definition 1.33（几乎处处）设 \((X,\mathcal{M},\mu)\) 是测度空间，若 \(\mu(E)=0\)，则称 \(E\) 是零集。如果 \(P(x)\) 是一个关于 \(x\in X\) 的陈述，且对任意 \(x\in X\backslash E\)（\(E\) 为零集）均成立，则称 \(P(x)\) 几乎处处成立。记为 \(P(x)\) 成立，\(\mu - \text{a.e.}\) Definition 1.34（完备测度）设 \((X,\mathcal{M},\mu)\) 是测度空间，若对任意 \(F\subset X\)，\(\exists E\supset F, \text{s.t.}\mu(E)=0\Longrightarrow \mu(F)=0\)，则称 \(\mu\) 为完备测度空间。 Theorem 1.35（测度的完备化）设 \(\mathcal{N} = \{N\in \mathcal{M}, \mu(N) = 0\}\)，且 \(\overline{\mathcal{M}} = \{E\cup F: E\in \mathcal{M}, F\subset N, \mu(N) = 0\}\)，则 \(\overline{\mathcal{M}}\) 是 \(\sigma-\) 代数且存在唯一 \((X,\mathcal{M})\) 上的完备测度 \(\overline{\mu}\) 使得 \(\forall E\in \mathcal{M}, \overline{\mu}(E) = \mu(E)\)。 Proof： 先证明 \(\overline{M}\) 是 \(\sigma-\) 代数。 \(\mathcal{M}\) 和 \(\mathcal{N}\) 显然对并和交运算封闭。因此 \(\overline{\mathcal{M}}\) 也对并和交运算封闭。 设 \(E\cup F\in \overline{\mathcal{M}}, E\in \mathcal{M}, F\subset N\in \mathcal{N}\)。不妨假设 \(E\cap F = \emptyset\)。 则 \(E\cup F = (E\cup N)\cap(N^c\cup F)\)，故 \((E\cup F)^c = (E\cup N)^c\cup(N\cap F^c) = (E\cup N)^c\cup (N\backslash F)\in \overline{\mathcal{M}}\)。因此 \(\overline{M}\) 对补运算封闭。 综上 \(\overline{\mathcal{M}}\) 是 \(\sigma-\) 代数。 构造 \(\overline{\mu}(E\cup F) = \mu(E),E\in \mathcal{M},F\subset N\in \mathcal{N}\)，则 \(\overline{\mu}\) 是唯一的完备测度。Exercise。 1.3 外测度 Definition 1.36（外测度）称 \(\mu*: 2^X\rightarrow [0,\infty]\) 为外测度如果 \(\mu^*(\emptyset) = 0\) 若 \(A\subset B\)，则 \(\mu^*(A)\leq \mu^*(B)\) \(\mu^*(\cup_{j=1}^\infty A_j)\leq \sum_{j=1}^\infty \mu^*(A_j)\) Proposition 1.37（基本族诱导的外测度）设 \(\mathcal{E}\subset 2^X\) 为基本族，\(\rho: \mathcal{E}\rightarrow [0,\infty]\)，\(\emptyset,X\in \mathcal{E}\)，\(\rho(\emptyset) = 0\)，则对任意 \(A\subset X\)，定义 \[\mu^*(A) = \inf_{E_j\in \mathcal{E}} \left\{\sum_{j=1}^\infty\rho(E_j): \bigcup_{j=1}^\infty E_j \supset A\right\} \] 则 \(\mu^*\) 是外测度，称为由基本族 \(\mathcal{E}\) 和 \(\rho\) 诱导的外测度。 Proof： 对任意集合 \(A\subset X\)，因为 \(X\in \mathcal{E}\)，所以定义式的 \(\inf\) 下的集合是非空的。即 \(\mu^*\) 对一切 \(A\subset X\) 均有定义。 \(\mu^*(\emptyset) = 0\)。 若 \(A\subset B\)，则包含 \(B\) 的基本族集合并也包含 \(A\)，即 \(A\) 取的是更多元素的 \(\inf\)。因此 \(\mu^*(A)\leq \mu^*(B)\)。 设 \(\{A_j\}_{j=1}^\infty\subset 2^X, A = \bigcup_{j=1}^\infty A_j\)。则 \[\forall \epsilon>0, \forall j\in \mathbb{N}, \exists \{E_j^k\}_{k=1}^\infty\subset \mathcal{E},\text{s.t.}A\subset \bigcup_{k=1}^\infty E_j^k,\sum_{k=1}^\infty\rho(E_j^k)\leq \mu^*(A_j) + 2^{-j}\epsilon. \] 因此 \(\mu^*(A)\leq \sum_{j,k}\rho(E_j^*)\leq \sum_{j=1}^\infty \mu^*(A_j) + \epsilon\)。故 \(\mu^*(A) = \sum_{j=1}^\infty \mu^*(A_j)\)。 Definition 1.38（\(\mu^*-\)可测集）给定 \(X\) 上的外测度 \(\mu^*\)。称 \(A\subset X\) 是 \(\mu^*-\) 可测集如果 \[\forall E\subset X, \mu^*(E) = \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap A^c). \] Remark 1.39 可测集的条件也等价于 \(\mu^*(E) \geq \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap A^c)\)。 若 \(E\supset A\)，则又等价于 \(\mu^*(E) - \mu^*(E\backslash A) = \mu^*(A)\)。 Theorem 1.40（Caratheodory）给定外测度 \(\mu^*\)，若 \(\mathcal{M}\) 为全体 \(\mu^*-\) 可测集所成集族，则 \(\mathcal{M}\) 是 \(\sigma-\) 代数且 \(\mu^*\bigg|_\mathcal{M}\) 是完备测度。 Proof：显然 \(\mathcal{M}\) 在补运算下封闭。下证 \(\mathcal{M}\) 在可数并和有限交运算下封闭。 设 \(A,B\in \mathcal{M}, E\subset X\)，则 \[\begin{aligned} \mu^*(E) &= \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap A^c) \\ &= \mu^*(E\cap A\cap B) + \mu^*(E\cap A\cap B^c) + \mu^*(E\cap A^c\cap B) + \mu^*(E\cap A^c\cap B^c), \\ \end{aligned} \] 因为 \(A\cup B = (A\cap B)\cup (A\cap B^c)\cup (A^c\cap B)\)，所以 \[\mu^*(E\cap A\cap B) + \mu^*(E\cap A\cap B^c) + \mu^*(E\cap A^c\cap B)\geq \mu^*(E\cap (A\cup B)). \] 故 \[\mu^*(E) \geq \mu^*(E\cap (A\cup B)) + \mu^*(E\cap (A\cup B)^c), \] 即 \(A\cup B\in \mathcal{M}\)。且当 \(A\cap B = \emptyset\) 时，令 \(E=A\) 显然有 \[\mu^*(A\cup B) = \mu^*(A) + \mu^*(B). \] 现设 \(B = \cup_{j=1}^\infty\) 两两不交，\(A_j\in \mathcal{M}\)。设 \(B_n = \cup_{j=1}^n A_j\)，则因为 \(A_n\cap B_{n-1} = \emptyset\)，所以 \[\mu^*(E\cap B_n) = \mu^*(E\cap A_n) + \mu^*(E\cap B_{n-1}) \] 归纳可得 \[\mu^*(E\cap B_n) = \sum_{j=1}^n \mu^*(E\cap A_j). \] 令 \(n\rightarrow \infty\) 即得 \[\begin{aligned} \mu^*(E\cap B) \geq& \sum_{j=1}^\infty\mu^*(E\cap A_j) \\ \geq& \mu^*(\bigcup_j(E\cap A_j)) + \mu^*(E\cap B^c) \\ =& \mu^*(E\cap B) + \mu^*(E\cap B^c) \end{aligned} \] 因此 \(B\in \mathcal{M}\)。 最后证明 \(\mu^*\) 的完备性。设 \(\mu^*(A) = 0, \forall E\subset X\)，则 \[\begin{aligned} \mu^*(E) &\leq \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap A^c) \\ &= \mu^*(E\cap A^c)\leq \mu^*(E). \end{aligned} \] 所以 \(A\in \mathcal{M}\)。即一切 \(\mu^*-\) 零测集均可测。因此 \(\mu^*\bigg|_\mathcal{M}\) 是完备的。 Definition 1.41（预测度）设 \(\mathcal{A}\subset 2^X\) 是代数，\(\mu_0: \mathcal{A}\rightarrow [0,\infty]\) 是预测度如果 \(\mu_0(\emptyset) = 0\) 若 \(A_j\in \mathcal{A}, \forall j\in \mathbb{N}\)，且 \(A_j\cap A_k = \emptyset, \forall j\neq k\)，\(\cup_{j=1}^\infty A_j\in \mathcal{A}\)，则 \(\mu_0(\cup_{j=1}^\infty A_j) = \sum_{j=1}^\infty \mu_0(A_j)\)。 Proposition 1.42 给定预测度 \(\mu_0\) 和由 \(\mathcal{A}\) 和 \(\mu_0\) 诱导的外测度 \(\mu^*\)，则 \(\mu^*\bigg|_\mathcal{A} = \mu_0\) \(\mathcal{A}\) 中元素均 \(\mu^*-\) 可测。 Proof：设 \(E\in \mathcal{A}\)。若 \(E\subset \cup_{j=1}^\infty A_j, A_j\in \mathcal{A}\)，令 \(B_n = E\cap (A_n\backslash \cup_{j=1}^{n-1}A_j)\)，则 \(B_n\) 两两不交且 \(E = \cup_{n=1}^\infty B_n\)。 因此 \(\mu_0(E) = \sum_{j=1}^\infty \mu_0(B_j)\leq \sum_{j=1}^\infty \mu_0(A_j)\)，即 \(\mu_0(E)\leq \mu^*(E)\)。 又由诱导外测度的定义知 \(\mu_0(E)\geq \mu^*(E)\)，所以 \(\mu_0(E) = \mu^*(E)\)。 设 \(A\in \mathcal{A}, E\subset X\)，则对一切 \(\epsilon\)，均存在 \(\{B_j\}_{j=1}^\infty\subset \mathcal{A}\) 使得 \(E\subset \cup_{j=1}^\infty B_j\) 且 \(\sum_{j=1}^\infty \mu_0(B_j)\leq \mu^*(E) + \epsilon\)。因此 \[\mu^*(E) + \epsilon \leq \sum_{j=1}^\infty \mu_0(B_j) = \sum_{j=1}^\infty \mu_0(B_j\cap A) + \sum_{j=1}^\infty \mu_0(B_j\cap A^C)\geq \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap A^c). \] Theorem 1.43 设 \(\mathcal{A}\subset 2^X\) 是代数，\(\mu_0\) 是预测度，\(\mu^*\) 是由 \(\mathcal{A}\) 和 \(\mu_0\) 诱导的外测度，\(\mathcal{M} = \mathcal{M(A)}\)，则 存在测度 \(\mu: \mathcal{M}\rightarrow [0,\infty]\) 使得 \(\mu = \mu^*\bigg|_\mathcal{M}\) 且 \(\mu\bigg|_\mathcal{A} = \mu_0\)。 若 \(\nu\) 是 \((X,\mathcal{M})\) 上的另一个测度，且 \(\nu\bigg|_{\mathcal{A}} = \mu_0\)，则 \(\nu(E)\leq \mu(E)\) 且 \(\nu(E) = \mu(E), \forall E,\mu(E) < \infty\)。 若 \(\mu_0\) 是 \(\sigma-\) 有限测度，则 \(\mu\) 唯一。 Proof：设 \(E\in \mathcal{M}, E\subset \cup_{j=1}^\infty A_j, A_j\in \mathcal{A}\)，则 \[\nu(E) \leq \sum_{j=1}^\infty \nu(A_j) = \sum_{j=1}^\infty \mu_0(A_j)=\mu(E). \] 设 \(A = \cup_{j=1}^\infty A_j\)，则 \[\nu(A) = \lim_{n\rightarrow \infty} \nu(\bigcup_{j=1}^n A_j) = \lim_{n\rightarrow \infty}\mu(\bigcup_{j=1}^n A_j) = \mu(A) \] 若 \(\mu(E) < \infty\)，选取 \(\{A_j\}\) 使得 \(\mu(A) < \mu(E) + \epsilon\)，则 \(\mu(A\backslash E) < \epsilon\)。因此 \[\mu(E)\leq \mu(A)=\nu(A)=\nu(E) + \nu(A\backslash E)\leq \nu(E)+\epsilon \] 即 \(\mu(E) = \nu(E)\)。 现设 \(\mu_0\) \(\sigma-\) 有限，则 \(X = \bigcup_{j=1}^\infty A_j, \mu_0(A_j) < \infty\)，\(A_j\cap A_k = \emptyset, \forall j\neq k\)。因此 \[\forall E\in \mathcal{M}, \mu(E) = \sum_{j=1}^\infty \mu(E\cap A_j) = \sum_{j=1}^\infty \nu(E\cap A_j) = \nu(E). \] Remark 1.44 \(\mathcal{M}\) 可以被替换成全体 \(\mu^*-\) 可测集 \(\mathcal{M}^*\)。 1.4 \(\mathbb{R}\) 上的 Borel 测度 Definition 1.45（\(\mathbb{R}\) 上的Borel 测度）称测度 \(\mu\) 为 \(\mathbb{R}\) 上的 Borel 测度如果 \(\mu\) 定义在 Borel 集 \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) 上。若 \(\mu\) 是有限测度，称 \(F(x) = \mu((-\infty, x])\) 为 \(\mu\) 的分布函数。 Remark 1.46 \(F\) 单调递增。 \(F\) 右连续：\(\lim_{x_n\rightarrow x^+} F(x_n) = \lim_{x_n\rightarrow x^+}\mu((-\infty,x_n]) = \mu(\bigcap_n(-\infty,x_n]) = \mu((-\infty,x]).\) \(\mu((a,b]) = F(b) - F(a), \forall b>a\)。 Definition 1.47（半开区间）称形如 \((a,b], (a,\infty)\) 的区间和空集为半开区间，记作 \(\mathcal{H}\)。 Remark 1.48 全体半开区间形成了一个基本族，即 \(\mathcal{A} := \{\cup_{j=1}^nI_j: I_j\in \mathcal{H}\}\) 是代数。 Proposition 1.49 设 \(F: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) 单调递增右连续，\(\{(a_j,b_j]\}_{j=1}^n\) 是一族不交半开区间。令 \(\mu_0(\cup_j (a_j,b_j]) = \sum_{j=1}^n F(b_j)-F(a_j), \mu_0(\emptyset) = 0\)，则 \(\mu_0\) 是 \(\mathcal{A}\) 上的预测度。 Proof：若 \(n=1\) 即 \(\cup_{j=1}^n (a_j,b_j] = (a,b]\)，则 \(\sum_{j=1}^n F(b_j)-F(a_j) = F(b)-F(a)\)。 若 \(\{I_i\}_{i=1}^n\) 和 \(\{J_j\}_{j=1}^m\) 是不交的半开区间，且 \(\cup_{i=1}^n I_i = \cup_{j=1}^m J_j\)，则 \(\sum_i \mu_0(I_i) = \sum_i\sum_j \mu_0(I_i\cap J_j) = \sum_j \mu_0(J_j)\)，即 \(\mu_0\) 是合理定义的。 设 \(\{I_j\}_{j=1}^\infty\) 是一族不交半开区间，\(\cup_{j=1}^\infty I_j\) 是半开区间的有限并，不妨假设 \(\cup_{j=1}^\infty I_j = I = (a,b]\)。则 \[\mu_0(I) = \mu_0(\bigcup_{j=1}^n I_j) + \mu_0(I\backslash \bigcup_{j=1}^n I_j) \geq \mu_0(\bigcup_{j=1}^n I_j) = \sum_{j=1}^n \mu_0(I_j). \] 因此 \(\mu_0(I) \geq \sum_{j=1}^\infty \mu_0(I_j)\)。 假设 \(I\) 是有限区间。由右连续性，对任意 \(\epsilon > 0\)，均存在 \(\delta>0\) 使得 \(F(a+\delta) - F(a) < \epsilon\)。 \[\forall j, \exists \delta_j>0, \text{s.t.} F(b_j+\delta_j) - F(b_j) < 2^{-j}\epsilon. \] 且 \(\{(a_j, b_j+\delta_j]\}\) 覆盖 \([a+\delta, b]\)。 根据有限覆盖定理，存在 \(\{(a_{j_k}, b_{j_k} + \delta_{j_k}\}_{k=1}^N\) 覆盖 \([a+\delta, b]\)，其中 \(b_{j_k} + \delta_{j_k}\in (a_{j_{k+1}}, b_{j_{k+1}} + \delta_{j_{k+1}})\)。故 \[\begin{aligned} \mu_0(I) &< F(b) - F(a+\delta) + \epsilon \\ &\leq F(b_{j_N} + \delta_{j_N}) - F(a_{j_1}) + \epsilon \\ &\leq F(b_{j_N} + \delta_{j_N}) - F(a_{j_N}) + \sum_{k=1}^{N-1} F(b_{j_k} + \delta_{j_k}) - F(a_{j_k}) \\ &< \sum_{k=1}^N F(b_{j_k}) - F(a_{j_k}) + 2\epsilon \\ &< \sum_{j=1}^\infty \mu(I_j) + 2\epsilon. \end{aligned} \] \(\epsilon\) 任意小，因此 \(\mu_0(I)\leq \sum_{j=1}^\infty \mu(I_j)\)。 最后假设 \(a = -\infty\)，则 \(\forall M<\infty\)，存在 \(\{(a_j, b_j+\delta_j]_{j=1}^\infty\}\) 覆盖 \([-M,b]\)。因此类似以上证明由 \(F(b) - F(-M) \leq \sum_{j=1}^\infty \mu(I_j)\)。令 \(M\rightarrow \infty\) 即证。 综上，\(\mu\) 是可数可加的。故 \(\mu\) 是测度。 Theorem 1.50 若 \(F: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) 单调递增右连续，则存在唯一 Borel 测度 \(\mu_F\) 使得 \(\mu_F((a,b]) = F(b)-F(a), \forall a 若 \(\mu\) 是 \(\mathbb{R}\) 上的 Borel 测度且在有界 Borel 集上有限，且定义 \[\begin{aligned} F(x) = \begin{cases} \mu((0,x]), & x>0 \\ 0, & x=0 \\ \mu((-x,0]), & x<0 \\ \end{cases} \end{aligned} \] 则 \(F\) 是单调递增右连续函数且 \(\mu = \mu_F\)。 Proof： \(F\) 给出了 \(\mathcal{A}\) 上的 \(\sigma-\) 有限预测度 \(\mu_F\)。\(F-G\) 是常数 \(\Leftrightarrow\) \(F\) 和 \(G\) 诱导相同的测度。 因为 \(F(b) = F(a) + \mu((a,b])>F(a), \forall b>a\)，且 \[\lim_{b\rightarrow b_0^+}F(b) = \lim_{b\rightarrow b_0^+}\mu((0,b]) = \mu((0,b_0]) - \lim_{b\rightarrow b_0^+}\mu(b,b_0] = \mu((0,b_0]) = F(b_0) \] 所以 \(F\) 右连续。由 \(\mu((a,b]) = F(b) - F(a)\) 可知 \(F\) 诱导 \(\mu\)，即 \(\mu = \mu_F\)。 Remark 1.51 如将分布函数定义中的 \((a,b]\) 改为 \([a,b)\)，则 \(F\) 左连续。 若 \(\mu\) 有限且 \(\mu = \mu_F\)，则可以定义 \(F(x) = \mu((-\infty,x])\)。 若将 \(\mu_F\) 完备化为 \(\mathcal{M}_\mu\supset \mathcal{B}_\mathbb{R}\)，则 \(\mu_F\) 就是实变函数中定义的 Lebesgue 测度。 Lemma 1.52 设 \(F\) 单调递增右连续，\(\mu = \mu_F: \mathcal{M}_\mu\rightarrow [0,+\infty]\)，则 \(\forall E\in \mathcal{M}_\mu\)， \[\mu(E) = \inf\left\{\sum_{j=1}^\infty \mu((a_j,b_j)): E\subset \bigcup_{j=1}^\infty (a_j,b_j)\right\} := \nu(E). \] Proof：只需证明 \(\mu(E)\geq \nu(E)\)。因为 \(E\in \mathcal{M}_\mu\)，所以 \[\forall \epsilon>0, \exists \bigcup_{j=1}^\infty (a_j,b_j)\supset E, s.t. \sum_{j=1}^\infty \mu((a_j,b_j]) > \mu(E) + \epsilon. \] 又因为 \(F\) 右连续，所以 \[\forall j, \exists \delta_j>0, s.t. F(b_j+\delta_j) - F(b_j) < 2^{-j}. \] 因此有 \[\nu(E)\leq \sum_{j=1}^\infty \mu((a_j,b_j+\delta_j))< \sum_{j=1}^\infty\mu((a_j,b_j])+\epsilon < \mu(E) + 2\epsilon. \] 由 \(\epsilon\) 的任意性得 \(\mu(E)\geq \nu(E)\)。 Theorem 1.53 若 \(E\in \mathcal{M}_\mu\)，则 \[\mu(E) = \inf\{\mu(U): U\supset E, U为开集\} = \sup\{\mu(K): K\subset E, K为紧集\}. \] Proof：第一个等号由 Lem 1.52 的证明直接可得； 下面证明第二个等号。先假设 \(E\) 有界。则 \[\forall \epsilon>0, \exists 开集 U\supset \overline{E}\backslash E, s.t. \mu(U) = \mu(\overline{E}\backslash E) + \epsilon. \] 令 \(K = \overline{E}\backslash U\)，则 \(K\) 在 \(E\) 中是紧集。因此 \[\begin{aligned} \mu(K) =& \mu(E) - \mu(E\cap U)\\ =&\mu(E) - (\mu(U) - \mu(U\backslash E))\\ \geq& \mu(E) - \mu(U) + \mu(\overline{E}\backslash E)\\ \geq& \mu(E) - \epsilon. \end{aligned} \] 所以 \[\forall \epsilon>0, \exists 紧集 K\subset E, s.t.\mu(K)\geq \mu(E) - \epsilon. \] 即结论成立。当 \(E\) 无界时，令 \(E_j = E\cap (j,j+1)\) 并令 \(\mu(K_j)\geq \mu(E_j) - \epsilon2^{-(|j|+1)}\)，则结论仍成立。 Theorem 1.54 若 \(E\subset \mathbb{R}\)，则以下等价： \(E\in \mathcal{M}_\mu\) \(E = V\backslash N_1, V\in G_\delta, \mu(N_1) = 0\) \(E = H\cup N_2, H\in F_\sigma, \mu(N_2) = 0\) Proof：仅证有界情形。假设 \(\mu(E) < \infty\)，则存在开集和紧集 \(U_j\supset E, K_j\subset E\) 使得 \(\mu(U_j) < \mu(E) + 2^{-j}, \mu(K_j) > \mu(E) - 2^{-j}\) 设 \(V = \bigcap_{j=1}^\infty U_j, H = \bigcup_{j=1}^\infty K_j\)，则 \(V\) 是 \(G_\delta\) 集，\(H\) 是 \(F_\sigma\) 集且 \(\mu(V\backslash E)<\epsilon,\mu(E\backslash H)<\epsilon\)。 Definition 1.55（勒贝格测度）设 \(F(x) = x\)，则称 \(\mu_F\) 是 \(\mathbb{R}\) 上的勒贝格测度。记为 \(m\)。\(m\) 的定义域记为勒贝格可测集，记为 \(\mathcal{L}\)。 Theorem 1.56 若 \(E\in \mathcal{L}\)，则 \(E+s, rE\in \mathcal{L}\)，且 \(m(E+s) = m(E), m(rE) = |r|m(E)\)。 Proof：结论对开集显然成立。注意到全体 \(\mathbb{R}\) 中开集构成的集族在平移变换和伸缩变换下不变。 令 \(m_s(E) = m(E+s), m^r(E) = m(rE)\)，则 \(m_s,m^r\) 和 \(m,|r|m\) 在有限个开集的并上是相等的，因此在 \(\mathcal{B}_\mathbb{R}\) 上也相等。 又因为若 \(m(E)=0\)，则 \(m(E+s) = m(rE) = 0\)，则全体零测集在 \(m_s,m^r\) 运算下也保持。因此结论在 \(\mathcal{L}\) 上都成立。 Remark 1.57 所有可数开集的勒贝格测度都为 \(0\)。 Definition 1.58（康托集）称 \(C\subset [0,1]\) 为康托集。它包含所有满足 \[x=\sum a_j3^{-j}, a_j\in \{0,2\}, \forall j\in \mathbb{Z}^+ \] 的 \(x\in [0,1]\)。 Proposation 1.59 \(C\) 是紧的、无处稠密、完全不连通、无孤立点的（完美集），\(m(C)=0\) 但 \(\#C = \#\mathbb{R}\)。 Proof： 因为 \(C = \cap_n F_n\) 而 \(F_n\) 是紧集，所以 \(C\) 是紧集。 因为 \((\overline{C})^\circ = C^\circ = \emptyset\)，所以 \(C\) 无处稠密。 因为 \(m(C) \subset m(F_n) = \left(\frac 23\right)^n\rightarrow 0\)，所以 \(m(C)=0\)。 \(\#C = 2^{\#\mathbb{N}} = \#\mathbb{R}\)。 Remark 1.60 康托函数定义为 \(f(x) = \sum (\frac{a_j}2)2^{-j}\)。 \[\mathcal{E}\mu\mathscr{n}\mathcal{T}\imath\ell\Theta f\eta \]